Численное интегрирование

В книге излагаются вопросы исследования электрических цепей с помощью средств вычислительной техники, рассматриваются методы построения и численной обработки аналитических решений уравнений состояния, а также вопросы диагностики электрических цепей; приводятся алгоритмы машинного формирования уравнений.

В гл. 1—4 разрабатываются новые аналитические методы решения уравнений состояния электрических цепей. Рассматриваются методы численной обработки этих решений на ЭВМ (гл. 5), а также методы и особенности численного интегрирования уравнений состояния электрических цепей (гл. 6).'В гл. 7 развиваются принципы организации машинного анализа электрических цепей. Последние главы посвящены созданию математических моделей электрических цепей.

Аналитические методы решения уравнений состояния. При моделировании электрических цепей с помощью уравнений состояния необходимо произвести оценку существования, единственности, устойчивости решений, определение возможностей преобразования различных эквивалентных уравнений, выявление чувствительности решений к изменению параметров уравнений, исследование особенностей поведения решений как в асимптотике, так и в окрестностях различных особых точек, например резонансных. Эта информация особенно нужна для определения границ состоятельности моделей и целесообразности их корректировки, с тем чтобы в полной мере отобразить свойства реальных цепей как объектов моделирования. Кроме того, только располагая опытом и результатами подобных в основном качественных и аналитических исследований, можно переходить к следующему этапу изучения рассматриваемых моделей — их численной обработке. В этом случае результаты аналитических исследований позволяют оценить как возможность численной обработки уравнений состояния, так и достоверность получаемых при этом данных. Подобные исследования определяют выбор наиболее эффективных численных процедур с учетом особенностей конкретных задач.

решений уравнений x=ax+f и x=Ax+f. Таким образом, детально разобрав все особенности построения аналитических решений уравнений состояния простейших электрических цепей, можно использовать наиболее эффективные из рассмотренных методов для решения уравнений состояния сложных электрических цепей. Запись решения уравнений состояния сложных электрических цепей х= = Ax--f имеет и определенное качественное отличие, поскольку она содержит функции от матрицы А, которые, однако, могут быть сведены к набору обычных скалярных функций. Поэтому в первых двух главах данного пособия подробно на большом числе примеров рассмотрены как методы исследования уравнений состояния простейших электрических цепей, так возможности и особенности применения этих методов для исследования сложных электрических цепей. Как развитие этого подхода в гл. 3 и 4 анализируются методы построения аналитических решений уравнений состояния второго порядка x = Ax+f, описывающих, например, реактивные электрические цепи, и уравнений состояния с переменной матрицей коэффициентов x==A(t)x+f, описывающих линейные нестационарные электрические цепи. Основное внимание в этих главах уделяется проблеме построения установившихся составляющих решений уравнений состояния, численный расчет которых связан с рядом трудностей. В гл. 5 описываются алгоритмы численной обработки полученных в предыдущих главах аналитических решений уравнений состояния. Высокая вычислительная эффективность развитых при этом процедур позволяет их использовать и в алгоритмах численного решения уравнений состояния (см. гл. 6) и машинного расчета электрических цепей (см. гл. 7).

Подобная форма представления преходящей составляющей удобна для последующей численной обработки, но непосредственно не отвечает целям качественного анализа изменения во времени этой составляющей. Заметим, что характер изменения во времени

ции теряют свою компактность и наглядность. Заметим, однако, что, несмотря на усложнение самой схемы и вида воздействующего напряжения, общие решения для х', х" получают одинаково просто, что имеет большое значение. Усложняются формулы для описания единичной переменной состояния. Матричная же форма остается простой. При этом возникает проблема численной обработки выражений, содержащих матричные функции (см. гл. 5). При необходимости получения результата в виде обычных, а не матричных функций интерес представляет возможность достижения результата наиболее рациональным образом, для чего может быть осуществлена, например, замена переменных в уравнениях состояния, обеспечивающая наиболее удобный для использования формул (2.3), (2.4) вид матриц коэффициентов.

Проанализированные в настоящей главе методы позволяют простыми способами находить аналитические решения уравнений состояния таких сложных электрических цепей, как нестационарные электрические цепи. Полученные при этом выражения дают возможность проводить качественный анализ решений, например оценку их резонансных свойств. Кроме того, возможно эффективное осуществление их численной обработки. Прежде всего это относится к нахождению периодических режимов. Дело в том, что определение периодических режимов в нестационарных электрических цепях при использовании методов непосредственно численного интегрирования их уравнений отличается большой сложностью, особенно в части идентификации таких режимов. Численная же обработка полученных в данной главе аналитических решений позволяет определить значения параметров периодического режима. С вычислительной точки зрения эта обработка не связана с существенными трудностями и фактически аналогична обработке решений уравнений состояния стационарных электрических цепей.

Для счета необходимо задать значения коэффициентов матрицы А и конкретные значения параметров tn. Заметим, что наличие сервисной программы, реализующей ввод арифметических выражений от матричных функций, исключает этап программирования и позволяет вводить в ЭВМ для численной обработки аналитические выражения установившихся составляющих решений уравнений состояния так же просто, как вводятся в обычный программируемый калькулятор подобные аналитические выражения решений скалярных уравнений состояния, соответствующих, например, простейшим RL- и /?С-цепям.

На практике измерения в диагностических экспериментах выполняют, как правило, с ошибками. Уровень возможных ошибок измерений часто удается оценить, например, по классу точности используемых измерительных приборов. В этой ситуации представляет интерес оценка погрешности решения задачи диагностики, обусловленная только соответствующими ошибками измерений. Согласование подобной оценки с требованиями к точности выполнения расчетной части решения задачи позволит выбрать и наилучший способ численной обработки экспериментальных данных на ЭВМ. При относительной малости ошибок измерений интересующая оценка может быть получена на основе линейной теории погрешностей.

При математическом моделировании электрических цепей важное значение имеет выявление таких особенностей их уравнений, которые затрудняют использование традиционных алгоритмов их численной обработки. Необходимость проведения такого исследо-

Учитывая, что U'3 = UJ,- UJ2 J = I, II, A = - U', д н U'2 = U" (согласно принципу взаимности), можно удостовериться в тождественности выражений (6.8) и (6.12). На практике матрицы обрабатываемых алгебраических систем (типа (6.10)) зачастую плохо обусловлены, особенно если последние формируются по результатам функциональной диагностики, когда рассматриваемые режимы могут лишь незначительно отличаться друг от друга. Более того, из-за погрешности измерений невозможно точно констатировать возможную выраженность этих матриц вследствие зависимости некоторых режимов, что приводит к серьезным проблемам численной обработки последних.

Но все же главной проблемой как расчетного, так и экспериментального этапа диагностики является проблема размерности, поскольку для получения необходимой экспериментальной информации и для ее численной обработки требуется слишком большое количество измерительной аппаратуры, измерений, диагностических экспериментов, а затем вычислительных операций по обработке данных измерений для диагностирования даже относительно небольших по размеренности цепей. Так, для диагностирования цепи с матрицей W (см. 6.10) размерностью т (например, (т + 1) узловой цепи, если W - узловая матрица), требуется рассмотреть т независимых режимов, затем произвести т2 измерений и от3 «длинных» (мультипликативных) операций по ее обработке при решении систем (6.10), что для небольшой одиннадцатиузловой цепи дает соответственно т = 10, т =100, т = 1000. С ростом т подобное положение становится неприемлемым для практической реализации. Все это заставляет по иному подходить к проблеме диагностики цепи, определяя не одновременно все ее параметры, а последовательно группы параметров отдельных подсхем цепи, т.е. осуществляя диагностику по частям.

В. А. Марцинковский в [12] приводит зависимость со/сод для различных значений s = s/r2, которые приведены на 2.35; используя эти значения, можно определить Я (г), проводя численное интегрирование уравнения (2.44), а затем численным интегрированием определить и F.

В результате интегрирования системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (6.5) совместно с уравнением движения ротора находят зависимости потокос-цеплений *?\.2=f(n и по (6.4)-----токов в обмотках i\.2=f(t). Выбор нотокосцеплений Ч*,_2 в качестве зависимых переменных упрощает численное интегрирование уравнений с использованием стандартных программ, так как 4*1.2 в отличие от /! 2 являются гладкими функциями.

Численное интегрирование уравнения состояния в этом случае можно представить в виде двух процессов: процесса интегриро-

Основными вычислительными операциями рассматриваемого ме-Года является численное интегрирование по объемам, поверхностям и контурам (для двумерных полей). При этом объемы магнитопро-

Поглощение решетки нетрудно учесть, использовав аппроксик адию в виде дисперсионной зависимости осциллятора. Если поглощение решетки лежит в области частот, далеко отстающей от области собственного поглощение то при вычислении оптических параметров им можно пренебречь. Влияние свободных носителей заряда на диэлектрическую проницаемость можно учесть аналитически. Для нахождения фазового угла осуществляют численное интегрирование методом Симпсона. Для экстраполяции в области высоких частот обычно берется функция Я~ш4.

Численное интегрирование выражений (7.23) выполним по формулам [25]:

Значительные сложности возникают при вычислении коэффициентов взаимной индукции объемных колец друг с другом и с соленоидами, так как точные аналитические формулы для объемных цилиндрических тел отсутствуют, а численное интегрирование занимает много времени.

Проблемы расчета установившихся процессов, Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с помощью их замены конечно-разностными для моментов времени, отдаленных друг от друга на малые интервалы, можно свести к решению системы алгебраических уравнений. В зависимости от особенностей электрической цепи этот интервал может оказаться настолько малым, что число шагов интегрирования может быть неприемлемо большим.

§ 6.1. Численное интегрирование уравнений состояния

Рассмотренные в предыдущей главе методы получения решений уравнений состояния требуют предварительного их аналитического решения. Для некоторых классов уравнений состояния (например, нелинейных и нестационарных) подобный подход связан с существенными трудностями, особенно если воздействующие функции имеют сложный характер. Поэтому возможно и непосредственное численное интегрирование уравнений состояния. В этом случае исследователь уже не располагает аналитическим решением уравнений, позволяющим проводить качественный анализ его свойств. Следовательно, особенно остро встает проблема адекватности получаемых при численном интегрировании результатов истинному решению уравнений состояния. В данной главе анализируются методы численного интегрирования уравнений состояния и исследуются такие особенности последних, которые характерны для уравнений электрических цепей и определяют адекватность получаемых при использовании конкретного метода результатов истинному решению.

§ 6.1. Численное интегрирование уравнений состояния........ 174