Дифференциальных уравнения

В практике расчетов переходных процессов в электрических цепях используют известный метод решения линейных дифференциальных уравнений с правой частью. Результат решения дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего однородного уравнения (когда правая часть исходного уравнения равна нулю). Для использования этого метода действительный (переходный) ток в ветви в соответствии с уравнением (4.9) представляют как сумму двух составляющих

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы: классический, оперативный, метод интеграла Фурье и др., которые применяются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического и операторного методов. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

Название метода "классический" отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. •

Различают два подхода при применении ЭВМ для расчета цепи. Первый подход предполагает универсальные программные средства, включая входной язык формирования системы уравнений цепи по ее топологии. Такие средства созданы в настоящее время, но их разработка и совершенствование требуют специальных знаний в области математики и программирования. Второй подход, рассмотренный в книге, основан на численном решении систем уравнений цепи при помощи подпрограмм стандартного математического обеспечения ЭВМ. При этом расчетчик самостоятельно составляет систему уравнений в форме, необходимой для реализации подпрограмм. Для расчета стационарных режимов цепи это система уравнений в матричной форме [см. (1.10).], а для расчета переходных процессов — система дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния.

Полученная система дифференциальных уравнений (I), (II), (III), (IV), (V) в общем случае позволяет определить токи схемы при произвольном законе их изменения.

При непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений общий интеграл линейных дифференциальных уравнений со свободным членом (правой частью) получают в результате суммирования частного решения данного уравнения и общего решения его при равенстве нулю правой части.

В соответствии с изложенным выше методом непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений напряжение ис для каждого момента переходного периода может быть получено как сумма частного решения уравнения (8.3) и общего решения однородного уравнения:

В своем труде «Материализм и эмпириокритицизм»* В. И.уТенин писал: «Единство природы обнаруживается «в поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явлений».

Моделирование большинства технологических объектов можно выполнять на микро-, макро- и мегауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте. Математической моделью технологического объекта на микроуровне является обычно система дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями, но точное решение подобных систем удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели для численных исследований.

Математической моделью технологического объекта на макроуровне является также, как правило, система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, построенными на основе сочетания компонентных уравнений отдельных элементов ТП с топологическими уравнениями, вид которых определяется связями между элементами. Для сложных технологических объектов с большим числом элементов приходится переходить на ме-гауровень.

Наиболее содержательный в смысле использования ММ этап проектирования. На этом этапе вначале тщательно исследуются физико-химические закономерности, лежащие в основе технологии данного вида РЭА. Их математическое описание основывается обычно на дифференциальных уравнениях математической физики, теории цепей, термодинамики, кинетики химических взаимодействий и т. д. Для обобщения результатов экспериментальных исследований широко привлекаются методы теории планирования эксперимента. Результатом такого всестороннего анализа ТП являются соотношения, полученные в результате решения дифференциальных уравнений, аппроксимации экспериментальных данных и с требуемой точностью описывающие отдельные компоненты ТП.

Перейдем от переменных 1\ и lz к новым переменным ? и г] таким, что относительно последних система (1) превратится в два не связанных между собой дифференциальных уравнения. Если такое преобразование возможно, то переменные , ц называют нормальными координатами системы. Переход к нормальным координатам — важный прием в теории колебаний.

воляет из (18.4) получить два простых дифференциальных уравнения:

Применительно к задачам численного расчета процессов в нелинейных цепях последнее утверждение не просто тривиальное повторение известного из общего курса получения системы уравнений в режиме малого сигнала, а физическая интерпретация метода численного решения нелинейной системы дифференциальных уравнений электрических цепей в общем случае. Последовательность численного решения примерно такова. Пусть для некоторого начального момента времени /=0 известны переменные состояния Ч? и q. Если вместо системы нелинейных дифференциальных уравнений (В.20) рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнения относительно малых сигналов, то по истечении некоторого времени A/I можно определить все приращения переменных состояний и, следовательно, найти их новые значения в момент времени О+Д/1. По этим значениям с помощью нелинейных характеристик рассчитывают новые значения Ч1' и q и соответствующие им параметры малосигнального режима и производят повторный расчет линейной системы (В.20) для интервала времени Д?2. Многократно выполнив эти расчеты, можно получить совокупность векторов *F и q для моментов времени /i = 0+A^, ^2 = ^i+A/2,..., tn = tn-i-\-&tn.

Применяя метод разделения переменных и полагая Н (г, t) = = Z (z)-T (f), можно получить следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Таким образом получены два нелинейных дифференциальных уравнения (6.20) и (6.21) первого порядка, которые надо решать с двумя нелинейными условиями (6.22) и (6.23) на краях МС. Эта нелинейная краевая задача при расчетах МС решается приближенно либо аналитически, либо графо-аналитически так называемым методом двойного графического интегрирования, либо с привлечением ЦВМ или АВМ.

Система уравнений (16.16) и (16.17) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь.

В этой идеализации переходным процессам в электрической системе отвечают два нелинейных дифференциальных уравнения:

Система уравнений (16.21) и (16.22) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а; и Ь.

Система уравнений (12.37) и (12.38) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь.

Знак минус показывает, что е увеличением х (см. 2.15) ток в рельсах падает. Два дифференциальных уравнения (2.106) и (2.108)

Вид функций М и /V подлежит определению. Определение функции Ф в виде произведения двух функций (19.55) позволяет разбить уравнение в частных производных (19.54) на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых одно будет составлено относительно М ,. другое — относительно N.