Экспоненциальная зависимость

Решение системы (2) будем искать в виде: Ui= «2=Bev/ с неизвестными заранее постоянными А и В. Подставляя эти выражения в (2) и сокращая на общий экспоненциальный множитель, приходим к системе алгебраических уравнений относительно А и В:

Вычислим интеграл (6.24) для случая, когда 2>z0. Контур интегрирования должен состоять из всей вещественной оси в плоскости к и полуокружности GI -бесконечно большого радиуса, проведенной в верхней полуплоскости. Такой выбор контура позволяет на основании леммы Жордана пренебречь интегралом по дуге Ci, так как при Im x>0 экспоненциальный множитель погасит подынтегральную функцию на достаточно большом удалении от начала координат.

Чем выше добротность, тем меньше декремент затухания. За время t = \T — \/a экспоненциальный множитель затухает в е раз. Следовательно, при учете (5.50) число периодов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз, v = Q/л.

потерями», в которых можно не учитывать влияние потерь на амплитуду, частоту и фазу свободных составляющих. Роль потерь сводится к затуханию свободных составляющих, т. е. в (22-4) и (22-9) выражения под знаком суммы должны умножаться на экспоненциальный множитель е~ь^\

При условии, что Еф -+ Ес величина Nc определяет максимально возможную концентрацию плектронов в невырожденном полупроводнике. Поскольку По/Лс — отношение равновесной концентрации электронов к максимально возможной, экспоненциальный множитель в (9-50) имеет смысл вероятности нахождения свободных электронов в зоне проводимости.

Аналогично предыдущему случаю (9-50) экспоненциальный множитель в (9-52) имеет смысл вероятности нахождения дырок в валентной зоне, а величина Nv определяет максимально возможную концентрацию дырок в невырожденном полупроводнике при условии Еф -^ Ev.

Отсюда следует, что концентрация носителей в собственном полупроводнике существенно зависит от температуры (причем главную роль здесь играет экспоненциальный множитель)( а также от ширины запрещенной зоны. Так, например, в кремния, ширина запрещенной зоны которого (&Е3 ёа 1,1 эВ) лишь примерно в полтора раза больше, чем у германия (&Е3 « 0,7 эВ), при комнатной температуре (Т « 300 К) собственная Концентрация на три порядка ниже, чем в германии: пг (Si) te ftf 2-1010 см'3, а щ (Ge) » 2-1013 см~3.

Экспоненциальный множитель обусловливает резкое увеличение «, при возрастании температуры или уменьшении ширины запрещенной зоны. На 1.4 приведены экспериментальные зависимости концентрации от температуры для основных полупроводниковых материалов. В выбранной системе координат (по оси абсцисс отложена обратная температура, по оси ординат — пг в логарифмическом масштабе) функция ехр[—AE3/(2kT)] изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой пропорционален Д?3. Близость графиков к прямым линиям подтверждает определяющее влияние экспоненциального члена.

Таким образом, умножение временной функции / (t) на экспоненциальный множитель вида e~at влечет за собой «смещение» в области изображений независимой переменной р на р + а. Математически сущность теоремы смещения записывается так: если

При условии, что Еф -+ Ес величина Nc определяет максимально возможную концентрацию плектронов в невырожденном полупроводнике. Поскольку По/Лс — отношение равновесной концентрации электронов к максимально возможной, экспоненциальный множитель в (9-50) имеет смысл вероятности нахождения свободных электронов в зоне проводимости.

Аналогично предыдущему случаю (9-50) экспоненциальный множитель в (9-52) имеет смысл вероятности нахождения дырок в валентной зоне, а величина Nv определяет максимально возможную концентрацию дырок в невырожденном полупроводнике при условии Еф -^ Ev.

где к — коэффициент, зависящий от уровня технологии изготовления кристаллов и числа фотолитографий; SKP— площадь кристалла. Экспоненциальная зависимость процента выхода годных кристаллов от их площади обусловлена в основном наличием случайно распределенных дефектов в оксидных пленках, выполняющих роль защитных масок при проведении таких распространенных технологических процессов, как диффузия и ионное легирование.

Таким образом, чем надежнее должна быть аппаратура в целом, тем надежнее должен быть каждый отдельный ее элемент. Например, если в аппаратуре содержится 10е одинаковых приборов и каждый из них имеет среднее время безотказной работы 10 ч, то в среднем каждый час аппаратура будет выходить из строя. Экспоненциальная зависимость вероятности выхода прибора из строя приводит к тому, что по истечении среднего времени /ср работоспособность сохраняет лишь 30—40 % приборов. Поэтому для повышения надежности аппаратуру на малонадежных приборах необходимо предварительно «тренировать», постепенно заменяя выбывшие приборы новыми.

Экспоненциальная зависимость управляющего воздействия характерна для системы Г—Д, в которой закон изменения ЭДС генератора обусловлен индуктивностью его обмотки возбуждения. Пуск, торможение и реверсирование, а также регулирование угловой скорости двигателя в системе Г—Д производят обычно путем соответствующих переключений в цепи обмотки возбуждения генератора, а иногда и двигателя. Так как обмотки возбуждения обладают сравнительно большой индуктивностью, то их электромагнитные постоянные времени велики и переходные процессы в цепях возбуждения машин протекают сравнительно медленно.

Линейный участок вольт-амперной характеристики терморезистора, на котором справедлива экспоненциальная зависимость (2.24), существует только в начале координат, когда нагревом протекающим током можно пренебречь, т. е. когда температура терморезистора совпадает с температурой среды.

где ут — экспоненциальная зависимость от аргумента хт, определяемого по соотношению BIT; ут — коэффициент перехода, равный bRlTJ(a + bRr,)-

Если ячейка для хранения информации имеет т возможных состояний, то две такие ячейки будут иметь т2 возможных состояний, а п одинаковых ячеек — тп возможных состояний. Следовательно, существует экспоненциальная зависимость между числом возможных состояний и числом ячеек. Учитывая эту зависимость для количественной оценки способности системы хранить или передавать ин-

терна экспоненциальная зависимость, а для подвижности — степен-

ции — резкое возрастание и тока от напряжения (экспоненциальная зависимость).

автоколебания, свойства которых отличаются от описанных. Кривые мгновенных значений этих колебаний резко отличаются от синусоид и определяются в основном отрезками экспоненциальных функций. Период колебаний близок к величине, пропорциональной постоянной времени активно-емкостной либо активно-индуктивной цепи. Фазовая траектория отличается от эллипса и, как правило, состоит из отрезков прямых, поскольку экспоненциальная зависимость во времени изображается на фазовой плоскости прямой линией.

В реакторе с 235U, если принять, что только мгновенные нейтроны влияют на реактивность, величина последней для достижения критичности составляет 0,0065. Для определения единицы реактивности используется понятие реактивности мгновенно-критического реактора, названное доллар. Для реактора 235U реактивность в 0,0065 будет равна 1,00 долл. На 7.6 показана экспоненциальная зависимость нейтронного потока (а следовательно, выходной мощности) от реактивности реактора. Этот график был составлен для 235U в

дения является в настоящее время двуокись углерода (СО2) (см. выше). Регулярные тщательные измерения концентрации СО2 в атмосфере ' проводятся со времени начала работ по программе Международного геофизического года2. Динамика концентрации СО2 в атмосфере примерно за 16 лет представлена на 12.16. Легко проследить не только сезонные колебания, но и отчетливо выраженную тенденцию к росту содержания СО2 в атмосфере. Продолжительность периода сбора данных недостаточна для того, чтобы можно было установить, будет ли тенденция роста линейной либо он подвержен колебаниям. Рассмотрим 12.17, где представлена оценка интенсивности поступления СО2 в атмосферу в результате сжигания топлив за период с 1860 по 1980 г. Здесь четко прослеживается экспоненциальная зависимость, причем кривая имеет более или менее одинаковый наклон на всем участке, соответствующем указанному периоду. Наличие разрыва этой кривой можно объяснить двумя мировыми войнами и экономической депрессией3.