Комплексные амплитуды

Вначале следует указать, что метод конформных преобразований применим для расчета плоскопараллельных полей, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Подчеркнуть, что в основе этого метода лежит преобразование, с помощью функций комплексного переменного, поля сложной конфигурации в поле простой конфигурации. Показать, что в аналитических функциях комплексного переменного вещественная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа. Затем вводят комплексный потенциал и показывают, как определяется через него напряженность поля. Необходимо подчеркнуть, ЧТО нет общего метода нахождения комплексного потенциала для любых конфигураций граничных линий.

23. Как с помощью Боде-плоттера определить комплексный потенциал любой точки схемы?

На 17.1, а показана картина магнитного поля при Ав = = л/4 и ехр [2лАФ/([л/)1 = 2. Комплексный потенциал магнитного поля вне области с током

6. Топографические диаграммы строят при допущении VN == О (комплексный потенциал точки N равен нулю).

9-43. На схеме к задаче 9-46 положительное направление приложенного напряжения принято от верхнего зажима (т. а.) к нижнему (т. в.). Пусть фв = 0. Чему равен комплексный потенциал в точке а и как направлен вектор напряжения ?/„(,=220 в относительно точек а и b на топографической диаграмме?

9-40. Точке отсчета, потенциал которой принят равным нулю, на так называемой «топографической» диаграмме соответствует начало координат комплексной плоскости. По-тенциалн остальных точек данной цепи по отношению к точке отсчета изобразятся комплексными числами. Поэтому комплексный потенциал можно изображать на комплексной плоскости или точкой, координаты которой равны вещественной и мни-

Напряжение на зажимах цепи переменного тока или на любом из ее участков можно выразить комплексным числом — комплексным напряжением и изобразить на комплексной плоскости вектором. Напряжение между двумя точками электрической, цепи представляет собой разность потенциалов между этими точками. Следовательно, потенциалы отдельных точек цепи также можно представлять комплексами — комплексными потенциалами и изображать соответствующими векторами. Вектор, изображающий комплексный потенциал, начинается в начале координат; его конец обозначают той же буквой (или цифрой), что и точку цепи, потенциал которой изображает вектор. Например, на 12-18 построены векторы комплексных потенциалов 4>0 = 1,0 + /20 в и %б = 30— — /15 ей разность векторов или вектор напряжения Оаб = = *„-*,= 10 + /20-30+ + / 15 = —20 +. /35 в.

Такая векторная диаграмма называется топографической; она удовлетворяет двум условиям: 1) каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на векторной диаграмме и 2) вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку диаграммы, изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.

— сопротивление 402 Комплексный потенциал 415 Конденсатор 18, 271

В том случае, когда имеется п линейных проводов с токами, можно воспользоваться принципом наложения и находить комплексный потенциал из выражения:

§ МЛ. Комплексный потенциал. Расположим оси декартовой системы в исследуемом поле так, что ось г будет перпендикулярна полю. Плоскость хоу будем называть плоскостью г. Каждая точка поля имеет некоторые коодинаты х и у. Плоскость хоу можно считать комплексной плоскостью. Тогда положение точки на плоскости будет характеризоваться комплексным числом z --- х 4- jy.

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

Для построения векторной диаграммы напряжения и тока цепи на комплексной плоскости запишем их комплексные амплитуды в соответствии с уравнениями (5.1) и (5.2):

Комплексные амплитуды тока и напряжения:

Комплексные амплитуды напряжения и тока, соответствующие уравнениям (5.23) и (5.24), равны:

Комплексные амплитуды первой и второй гармоник тока в резисторе г определяются выражениями:

называют комплексной амплитудой гармонического колебания (2.1). Здесь и в дальнейшем комплексные амплитуды отмечаются точками над символами. Для того, чтобы перейти от комплексной амплитуды к мгновенному значению гармонического колебания с известной угловой частотой <о, следует воспользоваться формулой

Введя комплексные амплитуды Ui = Um\ exp (jqn) и (72= = (Ущ2ехр(/ф2), перепишем эту формулу следующим образом:

Формула (2.6) свидетельствует о том, что законы Кирхгофа остаются справедливыми, если вместо мгновенных значений токов и напряжений подставить их комплексные амплитуды.

2.4. КОМПЛЕКСНЫЕ АМПЛИТУДЫ ПРОИЗВОДНОЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.5. Взаимное положение векторов, отображающих комплексные амплитуды напряжения я тока:

Пример 2.4. Последовательная #С-цепь возбуждается источником гармонического напряжения ( 2.7,6), ЭДС которого имеет комплексную амплитуду ?=180 ехр (/75°) мВ. Используя числовые данные из примера 2.3, вычислить комплексные амплитуды тока /, напряжения на резисторе OR и на конденсаторе Ос, а также найти выражения i(t), uR(t) и uc(t), которые описывают соответствующие мгновенные значения.