Линейными функциями

Система Y-параметров. Получается в том случае, когда независимыми переменными выбраны напряжения на входе и выходе. При этом состояние четырехполюсника определяется двумя линейными алгебраическими уравнениями

В соответствии с (2.1) линейные резистивные цепи с постоянными параметрами описываются линейными алгебраическими уравнениями. Характерной особенностью таких цепей является пропорциональность между реакцией f2(0~TOKOM или напряжением любой ветви и воздействием ^ (t) — напряжением или током источника (предполагается действие одного источника):

Однако во многих случаях эти зависимости выражены весьма слабо, ими мсжно пренебречь и полагать параметры цепи не зависящими ни от тока, ни от напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на 3-6). Такие элементы цепи называют .линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей.

Определение, данное ранее, справедливо только для линейного графа. В общем случае направленный граф выражает комплекс линейных или нелинейных функциональных отношений. Именно это определение дает графу Мейсон [Л. 1]. Однако для приложений, рассматриваемых в этой книге (за исключением нескольких частных случаев), достаточно иметь ограниченное определение линейного графа и средства простой алгебры. Переменные линейного графа определяются линейными алгебраическими уравнениями вида

По типу элементов, включенных в цепь, электрические цепи разделяются на линейные и нелинейные. Электрическая цепь, электрическое сопротивление, индуктивность и электрическая емкость участков которой не зависят от значений и направлений токов и напряжений в цепи, называется линейной. Сопротивление линейных элементов не зависит также от температуры. Связь между током и напряжением в линейных цепях выражается линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями:

Элементы электрической цепи могут быть линейными и нелинейными. Если сопротивление элемента цепи не зависит от величины протекающего тока или созданной на нем разности потенциалов, то элемент называется линейным. Ток в таком элементе пропорционален приложенной разности потенциалов и процессы описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, составляемыми на основании законов Кирхгофа.

В настоящее время наиболее хорошо разработаны методы сглаживания случайных динамических погрешностей неизменных во времени параметров. Задача сглаживания существенно осложняется, если характер изменения параметров движения цели во времени можно описать даже простыми линейными алгебраическими законами. В случае сложных законов изменения .параметров во времени сглаживание делается практически невозможным, особенно если принять во внимание преднамеренный маневр цели. Поэтому при проектировании прибора управления следует стремиться к тому, чтобы сглаживанию подвергались неизменные во времени -параметры движения цели. Это замечание в большей степени относится к приборам управления, . спроектированным на основе счетно-решающих устройств непрерывного действия.

трической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на 3,6). Такие элементы цепи называют линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно, такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей.

Уравнения установившегося режима. Установившиеся режимы цепей, содержащих только линейные пассивные элементы и постоянные не изменяющиеся по модулю и фазе источники тока, описываются линейными алгебраическими уравнениями ¦— линейными уравнениями установившегося режима. Такие цепи называются линейными электрическими цепями. Этот случай соответствует расчету установившихся режимов электрических систем при задании постоянных по модулю и фазе токов нагрузки потребителей и генераторов во всех узлах электрической системы, кроме одного.

В расчетах установившихся режимов электрических систем нелинейность пассивных элементов, как правило, не учитывается. В этом смысле продольная часть схемы замещения всегда линейна. В то же время, как правило, при расчетах установившихся режимов электрических систем учитываются нелинейные характеристики источников тока. Нелинейность источников тока соответствует заданию в узлах нагрузки потребителей или генераторов с постоянной мощностью либо заданию нагрузки ее статическими характеристиками, определяющими зависимость мощности от напряжения. Установившиеся режимы электрических систем с нелинейными источниками тока описываются нелинейными алгебраическими уравнениями — нелинейными уравнениями установившегося режима.

Установившиеся режимы цепей, содержащих только линейные пассивные элементы и постоянные по модулю и фазе источники тока, описываются линейными алгебраическими уравнениями — линейными уравнениям установившегося режима. Такие цепи называются линейными электрическими цепями. Этот случай соответствует расчету установившихся режимов электрических систем при задании постоянных по модулю и фазе токов нагрузки потребителей и генераторов во всех узлах электрической системы.

гументам ф;, определяет совместно с ограничениями gj (/=1, 0 множество систем, не сравнимых по принципу Парето. Выбор единственной оптимальной системы возможен далее только путем введения результирующего критерия, а полученная зависимость может использоваться при этом как дополнительное ограничение. Рассмотренный вариант реализации принципа Парето не является единственным, но он иллюстрирует то важное обстоятельство, что задача многокритериальной оптимизации практически сводится к однокритериальной. Поэтому методы однокритериальной оптимизации имеют фундаментальное значение для проблемы оптимизации. Ввиду сложности современных ТС задача полной оптимизации разделяется на ряд подзадач оптимизации в двух направлениях. В первую очередь это задачи оптимизации элементов ТС и затем задачи оптимизации всей системы по частным критериям или по некоторому результирующему критерию. Элементы ТС могут быть более или менее детально описаны математически, поэтому их оптимизация может быть осуществлена аналитическими методами. Это в первую очередь метод множителей Лагранжа, метод геометрического программирования. При переходе к подсистемам более высокого иерархического уровня возможности точного математического моделирования уменьшаются или же точные ММ становятся настолько сложными, что вышеуказанные методы применить нельзя. В настоящее время в связи с широким внедрением средств вычислительной техники получили распространение численные методы оптимизации: метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, метод покоординатного спуска, симплекс-метод, метод штрафных функций и др. Особого упоминания заслуживает метод линейного программирования, поскольку широко используется аппроксимация линейными функциями различных аналитических и экспериментальных зависимостей. Этот метод следует

Поскольку при старении параметры элементов и компонентов являются случайными функциями времени, при расчетах их аппроксимируют линейными функциями. Это позволяет характеризовать КС случайными величинами, а КС выходных параметров ИМС (МСБ) определять по правилам теории вероятностей, принимая нормальный закон их распределения. Поэтому для расчета КС используют выражения, аналогичные (3.42) — (3.45), после чего по известному предельному значению коэффициента старения Cs пред оп' ределяют предельное отклонение выходного параметра ИМС (МСБ) от номинального значения в результате старения за период работы А?:

При условии постоянства удельного сопротивления щеточного контакта сопротивления rl и г2 становятся линейными функциями и изменяются обратно пропорционально площадям касания щетки с коллекторными пластинами. Эти сопротивления выражают через полное время Т коммутации и текущее время от начала процесса коммутации /:

точно аппроксимировать кривую намагничивания одним простым аналитическим выражением. Кривую намагничивания до индукции полного насыщения можно разделить на несколько участков, количество которых зависит от типа функции, с помощью которой предполагается аппроксимация. Наиболее широко распространена аппроксимация участков кривой намагничивания линейными функциями (кусочно-линейная аппроксимация) или степенными многочленами. Кусочно-линейная аппроксимация достаточно просто реализуется с помощью вычислительной машины. Аппроксимация участков кривой намагничивания степенными многочленами более точная, однако может потребовать больших затрат машинного времени для реализации.

Подобное использование численно-аналитических методов в задачах решения нелинейных уравнений состояния (5.6), (5.7) основывается на последовательной поинтервальной аппроксимации нелинейных функций f(x, t) правых частей уравнений линейными функциями вида А„х + Ь„, t^[tn-\, tn]. В тех случаях, когда функция f(x, t) изменяется достаточно быстро, т. е. переменные состояния х(/) имеют большие производные, применение подобной аппроксимации по условиям обеспечения заданной точности расчета возможно лишь на относительно малых отрезках времени тп = /п — —tn-\, число которых на интервале fe[0, Т] в подобных случаях резко увеличивается. Поэтому для функций f(x, t) целесообразно использовать более сложные аппроксимации, например основанные на выделении из f(x, t) члена q>(t), не зависящего от х в том случае, когда f(x, /)^t;(x, t)+
Если транзистор работает в режиме усиления малого синусоидального напряжения, то токи в нем оказываются линейными функциями этих напряжений. Транзистор можно рассматривать как линейный четырехполюсник.

Применение теоремы компенсации облегчает изучение свойств линейных электрических цепей. Так, заменяя какой-либо участок цепи неавтономным источником э. д. с. или тока и пользуясь методом наложения, легко убедиться в том, что напряжения и токи в остальной части цепи являются линейными функциями напряжения на данном участке или тока, проходящего через Hiiro. Например, если при изменении комплексного сопротивления Z в какой-либо ветви изменяется ток Л в этой ветви, то ток 1% в ка-

и пользуясь методом наложения, легко убедиться в том, что напряжения и токи в остальной части цепи являются линейными функциями напряжения на данном участке или тока, проходящего через него. Например, если при изменении комплексного сопротивления Z в какой-либо ветви изменяется ток /г в этой ветви, то ток /2 в какой-либо другой ветви связан с Д линейной функциональной зависимостью

Зависимости предельного времени отключения короткого замыкания от влияющих факторов можно приближенно представить линейными функциями вида

Если переменные напряжения на переходах транзистора достаточно малы, токи в нем оказываются линейными функциями этих напряжений. Транзистор можно рассматривать как линейный четырехполюсник ( 4.25). При этом два внешних вывода четырехполюсника считают входными, соответствующие им ток и напряжение обозначают 1\ и (j\. Два других вывода являются выходными, соответствующие им ток и напряжение обозначают /а и L/2- За положительное принимают направление токов, входящих в четырехполюсник.

Элементарные преобразования и преобразование простого контура графа, описанные в гл. 1, показывают, что все передачи направленного графа являются дробно-линейными функциями коэффициента передачи некоторой произвольной ветви, которую мы хотим ввести в рассмотрение в явном виде. Если g есть коэффициент передачи выделенной ветви, то любая передача, вычисленная в графе, может быть представлена в виде