Операторное изображение

9.16. Используя понятие операторной передаточной функции, найти напряжение ui(f) на выходе цепей со схемами 7.2, находящихся при нулевых начальных условиях, если к их входу в момент ^ = 0 подводятся воздействия: a) u\(t)= Umcosa)t; б) u\(t) = = ите-°-';в) Mi(0=t/msint», /г=1,2,...

9.26. Знаменатель операторной передаточной функции определяется выражением: а) р +0,5/?+ 1; б) р2 + Зр+1; в) р2 — р+1; г) р2 + 3р + 3; д) р2 + 0, 1/0+1. Показать положение нулей полинома знаменателя (полюсов передаточной функции) на комплексной плоскости. Какие из полиномов описывают устойчивые цепи, а какие нет?

3. Связь между импульсной характеристикой цепи и операторной передаточной функцией.

6. Связь между переходной характеристикой цепи и операторной передаточной функцией.

" 10.4. Доказать, что если полином знаменателя правильной дробной рациональной операторной передаточной функции //(/?) = = M(p)/N(p) имеет простой нуль p = Q, то оригинал вычисляется по формуле:

Так как F\ (p) = L[8(/)j = 1, то получаем замечательный результат: L-изображением импульсной характеристики является операторная передаточная функция, и чтобы найти импульсную характеристику, достаточно взять обратное преобразование Лапласа от операторной передаточной функции, т. е. g(t} = L~{ [Н(р)\ Заметим, что для схем, содержащих конечное число элементов, Н(р) будет дроб-

Таким образом, для определения импульсной характеристики необходимо найти: 1) операторную передаточную функцию; 2) обратное преобразование Лапласа от операторной передаточной функции. В данном случае операторная функция Uz(p)/ U\ (p) имеет вид:

Таким образом, для определения переходной характеристики необходимо найти: 1) операторную передаточную функцию; 2) обратное преобразование Лапласа от операторной передаточной функции, деленной на р., В данном случае Ни(р) найдена в процессе решения задачи 10.1 и определяется выражением (10.7). Обратное преобразование Лапласа от Ни(р)/р представляет собой экспоненту:

17.25.* Показать, что полюсы операторной передаточной функции фильтра Баттерворта лежат на окружности. Чему равен ее радиус?

17.31.* Показать, что полюсы операторной передаточной функции фильтров с характеристиками Чебышева лежат на эллипсе.

17.42. На 17.7 показаны фазовые характеристики фильтров. Необходимо определить: 1) тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ); 2) порядок полинома знаменателя операторной передаточной функции фильтра; 3) полиномиальный или с полюсами ослабления и для последних — число полюсов ослабления. Необходимо также вычертить графики ослабления, считая аппроксимацию в ПП рав-новолновой.

Момент замыкания контактов Kl (t =0) в математической записи отвечает подаче на статор единичного напряжения —1 противоположного знака, вызывающего добавочный ток, операторное изображение которого таково: —\/(r -f рх(р}).

Используя метод наложения, получим операторное изображение затухающего переходного тока:

Рассмотрим операторное изображение по Лапласу функции времени / (t):

Из этого уравнения определяется операторное изображение тока цепи (см. 5-1):

du(, жение на зажимах цепи U имеет операторное изображение U/p, а ток i = С —~----

операторное изображение Срис(р):

10-1. Операторное изображение функций, их производных и интегралов

где р — а + /т] — комплексное число. Таким образом, операторное изображение действительной функции времени является функцией комплексного числа р.

В дифференциальных уравнениях электрической цепи с производной пэ времени чаще всего встречаемся в выражении для напряжения HI на катушке: uL = L --, . Обозначая операторное изображение тока i (/) в виде / (р), получаем согласно вышеизложенному операторное изображение для uL(t):

При включении цепи (г, L) под постоянное напряжение и = U = = const имеем U (р) = U/p и Z (р) = pL + г, а следовательно, при нулевом начальном условии / (0) = 0 операторное изображение тока, согласно закону Ома, в операторной форме получает выражение

Как видно из данного примера, операторное изображение тока представляет собой рациональную дробь, где и числитель и знаменатель являются полиномами оператора р. В следующем параграфе будет рассмотрен способ перехода от изображения к оригиналу, в котором используются некоторые свойства рациональных дробей. В некоторых случаях эти дроби можно привести к виду, представленному в таблицах, в которых даны соответствующие им оригиналы. Однако в этих таблицах (например, В. А. Диткин и П. И. Кузнецов «Справочник по операционному исчислению») такие формулы приведены для полиномов Н1 (р) относительно низкого порядка.