Операторному изображению

Как следует из вышеуказанного, для определения характера переходного процесса и записи уравнения свободной составляющей независимой переменной необходимо располагать характеристическим уравнением цепи. Это уравнение может быть получено из соответствующего дифференциального уравнения цепи или из анализа ее операторного сопротивления (см. § 7.7). Последнее может быть получено, если в уравнении для комплексного сопротивления цепи Z = Z(/to) заменить оператор /со на р и приравнять его к нулю:

напряжения Z,(p) = +pL + pC — операторного сопротивления цепи. Если в z(/?) заменить р на у'со, то получим комплексное сопротивление цепи. Величины L/(0_) и мс(0_)//> называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации. Величина, обратная Z(p), называется операторной проводимостью цепи:

Заметим, что структуры записи операторного сопротивления ветви и комплексного сопротивления этой же ветви

Третьим важным свойством рассматриваемых функций является то, что и:с вещественная часть положительна или равна нулю: Re [Z (р)] ^ 0 и Re [Y (р)] ^ 0, т. е. не отрицательна, при условии, если о ^г-- 0. Действительно, пусть 0 = 0, т. е. р = /со. В этом случае Z (f'co) и Y (/о), как было указано в § 10-3, являются обычными комплексными сопротивлением и проводимостью. При наличии отличающегося от нуля положительного активного сопротивления хотя бы в одной ветви двухполюсника активная мощность на входе двухполюсника положительна и, следовательно, активное сопротивление и активная проводимость всего двухполюсника также положительны, т. е. Re [Z (/со)] > 0. Когда в цепи имеются только реактивные элементы, то Re [Z (/со)] = 0. Покажем теперь, что Re [Z (р)] > 0 даже для чисто реактивной цепи, если о > 0. Например, для цепи на 15-1, а имеем в этом случае выражение для операторного сопротивления:

Это выражение по форме полностью совпадает с выражением для комплексного сопротивления Z (/со) = г + /coL + l/(g + /шС) цепи, изображенной на 15-1, б. Последнее при г > 0 ng > 0 имеет вещественную часть больше нуля, точно так же и вещественная часть операторного сопротивления Z (р) цепи на 15-1, а при о> 0 больше нуля. Для любой сложной цепи, состоящей только из реактивных элементов, аналогично может быть построена цепь,

Развивая эту аналогию, можно ввести понятие операторного сопротивления Z(p), аналогичного комплексному сопротивлению Z(j(u):

При исследовании переходных процессов в линейных электрических цепях мы пользовались понятиями комплексной частоты р = с + /со и операторного сопротивления Z (р). Если Z (/со) представляет собой комплексное сопротивление цепи, то операторное сопротивление получается заменой /со через р.

Итак, по расположению на комплексной плоскости нулей и пол юсов-(операторного) сопротивления Z (р) можно судить как о характере самой цепи, так и о ее частотных свойствах.

ного сопротивления перейти к операторнзму, достаточно /ш заменить на р. Сопротивление цепи в операторной форме — операторное сопротивление Z (р) — есть новая, более общая форма сопротивления. Например, комплексное сопротивление Z (jw) можно рассматривать как частный случай 2 (р), когда комплексная переменная р принимает чисто мнимое значение, равное /со. Все действия над операторными сопротивлениями производятся так же, как и над Z(/co), т. е. аналогичны всем действиям, применяемым в символическом методе. Подчерк! ем, что это сходство чисто формальное. Принципиальная разница ошнь велика. Применение операторного сопротивления позволяет ренать задачи, относящиеся к любому режиму в цепи при любой фор vie внешнего воздействия. Символический метод и связанное с ним понятие комплексного сопротивления позволяют решать задачи лишь при гармоническом воздействии и в установившемся режиме. На[ яду с операторным сопро-

Согласно методу эквивалентного генератора, следует операторное изображение напряжения разомкнутой ветви ?/ло'х.хО°) разделить на сумму операторного сопротивления включаемой ветви ZA (p) и входного операторного сопротивления всей схемы по отношению к точкам А и О' — обозначим его ZBX (p):

на величину линейного сопротивления R, составим выражение для операторного сопротивления Z(p) схемы замещения 14.16, в (см. § 3.7) и приравняем его нулю:

операторном методе находим изображение исследуемой величины путем простых алгебраических операций с уравнением в операторном виде. По операторному изображению с помощью формул разложения определяем оригинал функции — выражение исследуемой величины.

Прямое преобразование Лапласа совпадает с обобщенным прямым преобразованием Фурье при замене р на и. Поэтому, пользуясь обратным преобразованием Фурье в обобщенной форме, можем записать обратное преобразование Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал / (t) по его операторному изображению F (р) в виде

Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости 8km (P) равно операторному изображению gmk (p). Но если равны изображения двух переходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. е.

Операторный метод и передаточные функции. В операторном методе находим изображение исследуемой величины путем простых алге-брЗИЧеСКИХ Операций С уравнением в операторном виде. По операторному изображению с помощью формул разложения определяем оригинал функции — выражение исследуемой величины.

Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости g^m(p), равно операторному изображению gm/l (p). Но если равны изображения двух переходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. е.

§ 10.6. Понятие о минимально-фазовом и неминимально-фазовом четырехполюсниках. Из § 8.64 известно, что передаточная функция четырехполюсника К, (р) равна отношению операторного изображения выходной величины к /операторному изображению входной. Ее можно представить в виде отношения двух полиномов.

Зависимость между входной и выходной величинами преобразователя (прибора) описывается дифференциальными уравнениями, связывающими эти величины через параметры преобразователя. Решение этих уравнений, с учетом начальных условий, можно производить, применяя классический математический аппарат. Полученная в результате такого решения функция (или параметр), представляющая собой отношение мгновенных значений выходной и входной величин, называется динамической чувствительностью прибора (или преобразователя). Однако одним из наиболее удобных методов решения является операторный метод. Преобразователь можно характеризовать передаточной функцией S(p), определяемой как отношение операторного изображения Увых(р) выходной величины к операторному изображению входной величины ХвХ(р):

Входное сопротивление пассивного двухполюсника Z(p) как функция оператора р представляет собой отношение операторного изображения входного напряжения к операторному изображению входного тока.

6. Физически реализуемое Л2ф.Р(р) берут равным операторному изображению той части f2(^ + a)> которая имеет место при />0.

2. Определение сигналов по их операторному изображению. Сигнал 'определяется по его операторному изображению с помощью обратного интегрального преобразования Рима-на—Меллина:

Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f(t) по его операторному изображению F(p) в виде