Преобразования уравнения

ветствующих матриц коэффициентов и последующие преобразования уравнений. Для этого необходимо придерживаться следующего порядка.

В большинстве задач анализа машин переменного тока уравнения имеют периодические коэффициенты. При аналитических исследованиях переходных процессов в машинах переменного тока широко применяют методы замены переменных или методы преобразования координат. В результате преобразования из уравнений исключаются периодические коэффициенты, что существенно упрощает систему уравнений и ее решение. Заслуги советского ученого А. А. Горева в разработке теории преобразования уравнений машин переменного тока отмечены тем, что преобразованные уравнения синхронных машин называют уравнениями Парка — Горева.

Чтобы убрать периодические коэффициенты в уравнениях явно-полюсной СМ, записанных в системе координат а, Ь, с, необходимо произвести линейные преобразования уравнений. Дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты тогда, когда магнитные оси обмоток статора и ротора, а также магнитные оси обмоток и явно выраженные полюсы неподвижны относительно друг друга. Для этого неподвижная система координат, связанная со статором, заменяется ортогональной координатной системой, вращающейся вместе с ротором (оси d и q). Переменные в системе координат (а, Ь, с), например токи in, ib, i c, преобразуются в новые переменные, связанные с системой координат d, q (токи id, iq, to).

Для воздушного трансформатора можно составить эквивалентную схему замещения. Для этого проделаем несложные преобразования уравнений (4.15) и (4.16):

Авторы считают исключительно важным развитие аналитических методов решения уравнений состояния сложных электрических цепей. При классических путях применения ЭВМ в теоретической электротехнике метод переменных состояния является базовым. Поэтому раскрытие его внутренних возможностей имеет большое значение. В книге последовательно проводилась идея максимального использования возможностей аналитических методов в качестве предварительного условия для последующего перехода к численным расчетам. Подобный подход позволяет не только в максимальной мере использовать преимущества компактности и полноты информации аналитических решений, но и разрабатывать новые более экономичные и эффективные численные методы решения задач теории электрических цепей. Например, представление решений уравнений состояния через функции от матриц их коэффициентов позволяет создать новые эффективные алгоритмы численного интегрирования этих уравнений. Синтез возможностей аналитических и численных методов решения уравнений состояния открывает и новые пути использования ЭВМ. Так, объединение аналитических методов преобразования уравнений состояния электрических цепей с численными методами их решения, с методами анализа топологических структур и с учетом современной техники программирования привело к созданию принципов макромоделирования, обеспечивающих повышенную эффективность машинных расчетов цепей.

8. Бутырин П. А., Борю С. Ю. Аналитические преобразования уравнений состояния электрических машин//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1986, № 2.

В ряде случаев необходимо иметь зависимость тока от напряжения, прикладываемого к р-п переходу. Такую зависимость можно получить в результате преобразования уравнений (3.8) и (3.9). После этого теоретическая зависимость тока от напряжения будет иметь вид

Расчеты по уравнениям Кирхгофа. Эти расчеты дают возможность наиболее полного суждения о всей цепи. При этом практически всегда уравнения следует записывать или для контурных токов, или для узловых потенциалов (в зависимости от того, какая из систем оказывается, более простой для данной конкретной задачи). Выбор способа вычислений диктуется наименьшим количеством числовых операций, простотой контроля промежуточных числовых результатов и возможной точностью. Заметим, что метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) приводит заведомо к меньшему числу операций, чем прямое решение матричных уравнений методом определителей; последний может быть рекомендован как метод анализа уравнений, а также как метод преобразования уравнений для упрощения их численного решения. Особенно следует рекомендовать проверку промежуточных результатов (пользуясь, например, методом контрольных сумм), так как это избавляет при ошибке в начале расчета от большого числа бесполезных вычислений.

отображения процессов при формулировке задачи. Например, в процессе записи и преобразования уравнений могут отбрасываться члены ряда разложения, приниматься постоянными заведомо мало меняющиеся величины и т. п.

ленного интегрирования на ЦВМ. Алгоритм решения, в результате которого находятся Я,р = f(t), требует преобразования уравнений и разрешения их относительно производных от токов по времени с разделением на группы дифференциальных и алгебраических уравнений (балансы токов в статорных цепях). Решение, проводимое путем численного интегрирования, обычно требующее также и последовательных приближений*, уже для системы из двух-трех станций и нагрузок получается весьма громоздким.

Иногда в процессе преобразования уравнений бывает полезно добавлять отсутствующие в уравнении переменные с одновременным включением столбца нулей в ма: трицу коэффициентов. Так, например, уравнения

преобразования уравнения преобразования уравнения

Результаты расчета приведены в табл. 6.2. Там же приведены результаты расчета тех же величин, проведенного методом интегрирования уравнений состояния. Из таблицы видно, что характеристики, полученные двумя методами, имеют близкие значения. При этом следует иметь в виду, что трудоемкость получения характеристик путем интегрирования уравнения состояний выше, чем при использовании обратного преобразования Лапласа.

Для преобразования уравнения (XI 1.3) явнополюсного генератора введем обозначение

ложение вытекает из следующего тригонометрического преобразования уравнения (4-1) для пульсирующей волны поля:

Уравнению (10-53) соответствует часть графа, показанная на 10-49, а. После преобразования уравнения (10-53) сигнал узла k переходит в правую часть уравнения, т. е.

После преобразования уравнения (а) получаем

Для преобразования уравнения (26.2) в дифференциальную форму можно окружить исследуемую точку поля небольшим замкнутым контуром, на который опирается площадка AS. Циркуляция

Для преобразования уравнения определим вводимое неизвестное ,v4 из последнего уравнения ограничений.

Произведя преобразования уравнения (7.36), получим формулу для верхнего предела

Матричные преобразования. Уравнения режима и уравнения преобразования удобно записывать в матричной форме, так как в матричной модели определенным образом отражаются физические и математические связи, присущие рассматриваемому явлению. Преимущества матриц заключаются в том, что в системе линейных дифференциальных уравнений все переменные одного и того же типа могут быть представлены одним символом. То же самое относится и ко всем параметрам уравнений. Поэтому система уравнений может быть представлена одним уравнением. Решение может быть выражено в тех же символах, а матричная алгебра позволяет удобными способами найти решение. Если задача усложняется, то трудности уменьшаются рядом приемов, которыми удобно пользоваться в матричной форме. Поэтому линейные преобразования и разбиение на подматрицы являются необходимыми в работе. Умножение матриц может быть проведено с помощью простых правил вручную или на вычислительных машинах. Все это дает идеальный инструмент для проведения линейных преобразований, а также для нахождения любых эффективных преобразований. Для представления данных счетным машинам цифрового или аналогового типа удобна не только матричная форма записи, но и сами матричные преобразования, так как в машинах они могут быть представлены в действительном виде для набора модели.

В общем случае система уравнений (2.270) не решается, т. е. найти в явном виде qi=qi(z, r) и q2 = q2(z, r) не удается. Следовательно, не удается также вычислить необходимые для преобразования уравнения (2.267) коэффициенты Ламе. Однако если ограничиться параксиальным приближением, т. е. несколько ограничить класс рассматриваемых пучков, то задача во многих практически важных случаях может быть решена.