Плотностей вероятности

ных отсчетов ы={ы(гь ti), u(r2, t2),...,u(rk, tk)} случайного параметра u(r, t) с плотностью w(tii, u.2, ...,Wft) при любом е.>0 найдутся конечные числа N\,...,N стандартных плотностей вероятностей Wi(ui, u2,...,Uh),...,w(ui, и2,...,иь), векторы Лв/ (j^J, n^N,-) и пропорции gnj, где N,- и / принимают такие значения, что

Если w(u\, ...,«ft) —непрерывные по всем переменным в замкнутой области, за исключением, быть может, конечного числа точек, то при любом &>0 найдутся такие конечные числа Ni,...,N/ стандартных плотностей вероятностей, что

ответствующих смешанных плотностей вероятностей:

Полученные соотношения для преобразования плотностей вероятностей параметров при прохождении фильтрующей операции контроля являются частным случаем некоторого более общего выражения, которое получается при введении понятия «выборки».

Для перехода к описанию процесса, происходящего в течение ТО на уровне интегральных вероятностей, следует остановиться на форме представления исходных данных. Достаточно простым и точным методом аппроксимации исходных зависимостей плотностей вероятностей, интегральных законов распределения и т. п. является полигауссово приближение. По известному свойству нормальных распределений имеем, что плотность распределения (15.20) также будет нормальной, а в случае полигауссового представления — полигауссовой. С другой стороны,

смотрении ТП на уровне плотностей вероятностей, так как существуют соотношения, однозначно переводящие одни оценки в другие (например, посредством (15.23)).

Соотношениями (15.3) — (15.23) установлены места преобразования плотностей вероятностей и интегральных оценок по технологической цепи. Аналогично для параметра «вероятности выхода годного» можно установить основные выражения связи доверительных интервалов для других параметров (например, математического ожидания и среднеквадратического отклонения).

Так как пользоваться в практических приложениях выражением (17.19) при больших п и m затруднительно, чаще пользуются статистическими оценками одно- и двумерных распределений плотностей вероятностей, а также методами множественной регрессии для оценки условного математического ожидания стохастической переменной у (t) и дисперсии. Последних характеристик достаточно для решения большинства задач управления ТП при производстве РЭА.

Определим параметры эллипса рассеяния имитационным моделированием. Будем имитировать на ЭВМ каждый выстрел, разыгрывая для него на основании плотностей вероятностей указанных факторов влияние каждого фактора и определяя точку падения одиночного снаряда. Проведем на ЭВМ сотню «выстрелов», оценим по результатам необходимую величину выборки (число необходимых для заданной достоверности выстрелов), сделаем на ЭВМ дополнительное до выборки число «выстрелов» и получим нужный результат, т. е. параметры эллипса рассеивания.

где Uz — истинное значение измеряемого напряжения, равное математическому ожиданию величины Ut, так как систематической погрешностью можно пренебречь. Плотность вероятности получения значений U\, ..., Ui, .,., Un согласно [3] равна произведению плотностей вероятностей, т. е. в данном случае

В [Л. 18-12] приводятся графики» существенно упрощающие вычисление вероятностей, входящих в W3 — We, для плотностей вероятностей f(x) и ф(г/), подчиненных нормальному закону. В [Л. 18-13] рассматриваются асимптотические приближения оценки, также позволяющие существенно упростить вычисления WS—WG. Остановимся кратко на этих оценках. Апостериорная плотность вероятности величины X при условии, что получен результат

V. Об условиях подобия при вероятностном характере изучаемых явлений. Все теоремы и условия подобия, относящиеся к детерминированно заданным системам, справедливы и для стохастически определенных систем при условии совпаде_-ния у этих систем плотностей вероятностей сходственных параметров, представленных в виде относительных характеристик. При этом дисперсии и математические ожидания всех параметров (с учетом масштабов) должны быть у подобных систем одинаковыми.

При смешанных описаниях каждое слагаемое или подынтегральное выражение в (3.6) — (3.8) имеет определенное теоретико-вероятностное содержание. Корректное использование дискретных смесей вида (3.6) стандартных плотностей вероятности связано с неортогональным базисом в пространстве плотностей, так как, за исключением практически неинтересного случая финитных стандартных плотностей, другие, будучи положительными, не могут быть ортогональными (финитными называются такие функции, которые отличны от нуля лишь на конечном интервале аргумента). В отличие от известных ортогональных разложений возможны смешанные представления с любым числом компонентов, удовлетворяющих всем аксиомам теории вероятностей. Например, полигауссовы представления плотности вероятности с конечным числом компонентов в отличие от рядов Эджворта всегда являются плотностями и, в частности, положительны во всей области определения.

Функция 1[Щ называется отношением правдоподобия, величина 1о — весовым коэффициентом. Выражение в фигурных скобках означает множество тех значений наблюдаемой случайной величины U, которые удовлетворяют условию, выписанному после двоеточия. Таким образом, оптимальное правило принятия решений в рассматриваемой задаче приводит к тому, что из всего множества {U} возможных значений результата измерения величины U выделяется область S принятия решений о кондиционности режима. Само правило состоит в том, что для каждого значения U, полученного в результате измерения контролируемого технологического фактора, вычисляется отношение правдоподобия l[U], которое затем сравнивается с величиной весового коэффициента la. Если вычисленная на основе результата измерения степень правдоподобия решения о кондиционности режима, выражаемая величиной l[U], превышает необходимую и достаточную для оптимальности решения степень достоверности, выражаемую величиной /о, следует принять решение о кондиционности режима. Если степень правдоподобия l[U] меньше этой 1о, решение о кондиционности не следует принимать, т. е. следует принять решение о некондиционности режима. Полученное правило справедливо для любых исходных плотностей вероятности.

ность вероятности наблюдаемого вектора U является многомерной сверткой соответствующих плотностей вероятности слагаемых:

Операция многомерной свертки плотностей вероятности произвольного вида существенно упрощается, если использовать полигауссовы представления всех участвующих в задаче исходных распределений вероятности с одинаковыми ковариационными матрицами 1/2 ф у гауссовских компонентов:

Рассмотрение адаптивного варианта алгоритма распознавания состояний технологического объекта, описанного в § 5.2, начнем с записи многомерных плотностей вероятности наблюдаемого векторно-значного пространственно-временного поля U. Условие

Подставляя в эти формулы конкретные выражения в виде взвешенных сумм условных многомерных плотностей вероятности наблюдаемого вектора U с соответствующими пропорциями и учитывая (5.33), получаем систему однородных уравнений

ных плотностей вероятности отсчетов поля помех n(r, t) и вероятности соответствующих событий:

помех n(t). При независимости S(t) и n(t) многомерные плотности наблюдаемого поля являются свертками плотностей вероятности слагаемых и также полигауссовы. Таким образом, задача определения количества и распознавания типов неисправностей гибкой производственной системы сводится к задаче различения полигауссовых случайных полей с различными средними и матрицами корреляционных функций. При этом алгоритм различения содержит

6.14. Рассмотрим двумерную случайную величину Ц7= (Л\ К). Так как X и У независимы, то pw(x, у) = =pi(x)pz(y). Перейдем от аргументов (х, у) к новым аргументам (х, z), где z—x-\-y. Так как якобиан преобразования D = l, то в новых переменных двумерная плотность вероятности pw(x, z)=pi(x)p2(z — х). Отсюда плотность вероятности суммы есть свертка плотностей вероятности слагаемых:

11.13. На вход тракта, состоящего из идеального одностороннего ограничителя и идеального ФНЧ с частотой среза О = 2-103 рад/с, подается нормальный процесс x(t) с корреляционной функцией ^(т)==4ехр ( —P2x2)cos 105т, где Р=10М/с. Определить математическое ожидание выходного процесса z (/) и построить графики плотностей вероятности и энергетических спектров на входе и выходе ограничителя у (t), а также на выходе ФНЧ.

11.13. Так как частота среза ФНЧ удовлетворяет условию Р«сП«:ш0, то на выходе фильтра выделяется постоянная составляющая ограниченного сигнала, пропорциональная огибающей: Z (f) = К0а.0А (г), где а0- коэффициент Берга. Для идеального ограничителя без смещения угол отсечки 9 = я/2, следовательно, an = 0,32. При этом mz=l,26axa0 = = 0,57 В; af = 0,43erxfXo = 0.88 В . Графики плотностей вероятности и энергетических спектров процессов приведены на 11.3.