Плотности вероятности

Под непрерывными марковскими процессами понимают процессы, непрерывные во времени и пространстве. Из-за континуального множества состояний вместо переходных вероятностей вводятся плотности вероятностей переходов W(x\, ti\xi-\, ti-\), которые совместно с плотностью вероятности начальных состояний W(xi, ti) определяют совместную плотность вероятностей состояний в мо-

Наблюдаемый параметр-—количественная характеристика свойств объекта контроля, принимающая только два состояния: «есть» и «нет» (можно «да» и «нет»). Примерами ИП могут служить «залипание» печатных проводников после лужения, наличие замыканий между проводниками после травления, наличие обрывов и т. п. Для ИП могут быть построены гистограммы и полигоны распределений, по которым при оговоренных допусках легко определяются соответствующие вероятности PI. Для ИП могут быть построены аппроксимирующие плотности вероятностей, что существенно при проектировании оптимальных СОК, так как плотности вероятностей более тонко учитывают сущность явлений, происходящих в контролируемых ТП. Легко показать необходимость таких прикладных программ в пакете прикладных программ (ППП). Для НП вероятности Р; получаются как отношение числа годных к общему числу проверенных объектов контроля.

Для этого достаточно определить эллипс рассеивания точек падения снарядов и плотность их распределения внутри этого эллипса. На отклонение точки падения от центра этого эллипса будут влиять следующие случайные факторы: небольшие отклонения в весе порохового заряда, параметры качки корабля на волне, влияние порывов ветра на летящий снаряд, влияние полос дождя на летящий снаряд. Плотности вероятностей для каждого из этих факторов и их вес известны. В то же время факторов не так много, чтобы их влияние можно было просто проссумировать по центральной предельной теореме и суммарный закон распределения вероятности свести к гауссовскому.

Здесь L(UC) = P(UCU/UC); p(uc/ucu), р(ис), р(исп/ис) — соответствующие плотности вероятностей.

Основным источником инструментальной погрешности данного устройства является отличие плотности вероятностей w (у) т требуемого вида. Представим функцию w (у) в виде ряда. [31]

функции плотности вероятностей первого класса fi (X) и

Например, при расчетах по методу статистического моделирования (метод Монте—Карло) используется комплекс программ, в который входят программа расчета устойчивости и специальная программа статистической вариации исходных данных. Случайная вариация исходных данных осуществляется с помощью устройства для генерирования последовательности случайных чисел с равномерным (нормальным) законом распределения вероятностей. Для каждого случайного сочетания значений исходных данных производится расчет .. устойчивости. При многократном повторении таких *\ расчетов собираются статистические данные об искомых параметрах, характеризующих переходный процесс. Последующая обработка этих данных дает возможность получать эмпирические плотности вероятностей и функции распределения.

Плотности вероятностей случайных параметров, влияющих на предельное время отключения короткого замыкания (см. 13.10), имеют вид, показанный на 13.15. При этом предполагается, что сопротивление дуги, э.д.с. и переходное сопротивление генератора распределены по усеченному нормальному закону, а удаление короткого замыкания от начала линии — по равномерному закону*.

13.15. Плотности вероятностей W режима и параметров системы:

Производная берется по модулю, так как плотности вероятностей — неотри-пательные функции. *

Видимо, С получается при Н(Х) =НК&КС(Х). Как уже говорилось, для ограниченной по максимальному значению плотности вероятностей / (х) наибольшее Н (X) дает 40

ной плотности вероятности значений случайной функции при лю-

Нестационарный гауссовский белый шум отображается в пространстве отсчетов облаком реализаций, плотность которого максимальна в точке, отображающей среднее значение, и спадает по закону гауссовской кривой с удалением от этой точки, но в различных направлениях с разной скоростью, обратно пропорциональной дисперсии Ok2 соответствующего отсчета. Поверхностями равной плотности вероятности являются гиперэллипсоиды с осями, параллельными декартовым осям координат.

В соответствии с (3.5) поверхностями равной плотности вероятности в многомерном пространстве отсчетов гауссовского случайного процесса общего вида являются концентрические гиперэллипсоиды с максимумом плотности в точке среднего значения, ориентация и размеры главных осей гиперэллипсоидов определяются корреляционной матрицей.

Определенное расширение аппроксимационных возможностей стандартных распределений дает подбор наилучших значений параметров этих распределений из непрерывного множества их допустимых значений. Например, при аппроксимации плотности вероятности w (х) некоторой случайной величины х гауссовской плотностью N(x, M, о) можно подбирать оптимальные величины математического ожидания М и среднеквадратического отклонения а из соответствующих непрерывных бесконечных множеств — оо^М^Гоо и 0=sCff^oo так, чтобы заранее заданная характеристика р[ш, N] отличий w(x) от N(x, M, о) была минимальной:

если возможны точные или приближенные представления (3.6) — (3.8), где цп[*], Ц«1*]> Ц«п[*] есть некоторые определенные законы распределения вероятностей, ш„[«], wg\[-] и ш^[-] — определенные плотности вероятности, различающиеся типом или значениями параметров, а взвешивающие сомножители {gn}, w(g) и wn(g), как правило, имеют смысл дискретных или непрерывных распределений вероятности и удовлетворяют условию нормировки. Результат смешения только гауссовских компонентов называют полигауссовым явлением, только райсовских — полирайсовым явлением, только экспонентных — полиэкспонентным явлением и т. д.

При смешанных описаниях каждое слагаемое или подынтегральное выражение в (3.6) — (3.8) имеет определенное теоретико-вероятностное содержание. Корректное использование дискретных смесей вида (3.6) стандартных плотностей вероятности связано с неортогональным базисом в пространстве плотностей, так как, за исключением практически неинтересного случая финитных стандартных плотностей, другие, будучи положительными, не могут быть ортогональными (финитными называются такие функции, которые отличны от нуля лишь на конечном интервале аргумента). В отличие от известных ортогональных разложений возможны смешанные представления с любым числом компонентов, удовлетворяющих всем аксиомам теории вероятностей. Например, полигауссовы представления плотности вероятности с конечным числом компонентов в отличие от рядов Эджворта всегда являются плотностями и, в частности, положительны во всей области определения.

цию исходной плотности w(u) смесью стандартных плотностей. В таких случаях говорят о теоретико-вероятностном происхождении смешанных случайных моделей технологических факторов. Известные условия точного представления исходной плотности вероятности смесями стандартных законов распределения весьма ограничительны, относительно громоздки для использования. Для решения инженерных задач обычно достаточны приближенные представления при условии обеспечения определенной заранее заданной их погрешности. В отличие от условий точного представления достаточные условия смешанной аппроксимации слабее и

На величину технологической себестоимости годного изделия помимо структуры ТП влияют: 1) величина конструкторского допуска на первичные (конструкционные) параметры, определяющая вероятность выхода годных изделий при той или иной точности изготовления; 2) вид и параметры распределения плотности вероятности показателя качества изделия, также определяющие вероятность выхода годных изделий; 3) технологическая точность (точность изготовления), определяющая затраты на производство изделия при заданной структуре ТП, вид и параметры

распределения плотности вероятности показателя качества.

Для симметричных распределений плотности вероятности показателя качества, математическое ожидание которых совпадает с серединой поля допуска, а симметрия не нарушается при вариации номинальных значений конструкционных параметров, опре-

Для частного случая — симметричных распределений плотности вероятности показателя качества, когда определяется лишь