Статистически независимых

мощью операции Р()=( — 1)1+* • Получим последовательность {р(()}, Р«н{ — 1, 1}. Предполагается, что символы последовательности сообщения {№'>} и соответственно последовательности {Р(<)} статистически независимые, равновероятные.

Статистически независимые случайные величины. Мы уже определили статистическую независимость двух или больше событий из выборочного пространства S. Понятие статистической независимости может быть распространено на случайные величины, определённые на выборочном пространстве и полученные при комбинированном эксперименте или при повторении единственного эксперимента. Если эксперименты приводят к несовместным исходам, вероятность результата в одном эксперименте не зависит от результата в любом другом эксперименте1. Т.е. совместная вероятность результатов определяется произведением вероятностей, соответствующих каждому результату. Следовательно, случайные величины, соответствующие результатам в экспериментах, независимы в том смысле, что их СФПВ (или СИФР) определяется произведением соответствующих ФПВ (или ИФР). Следовательно, многомерные случайные величины статистически независимы, если, и только если

где A',-, i-l',2...n, - статистически независимые и идентично распределенные случайные величины с ФПВ, показанной на 2.1.6. Какова функция распределения F?

где А',-, /=1,2,..., п, - статистически независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные с величины с нулевыми средними и дисперсией ст2. Вследствие статистической независимости А' характеристическая функция Y

Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как модель для статистию сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределена тесно связано с центральным хи-квадрат-распределением. Чтобы это проиллюстрировать, положим, чти JXYf+A';,2, где-Vi иХ2- статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними i одинаковой дисперсией а2. Из изложенного выше следует, что Y имеет хи-квадрат-распределение с двум степенями свободы. Следовательно, ФПВ для Y f

где,?„ /=1, 2, ..., «, статистически независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым средним. Ясно, что Y-R2 имеет хи-квадрат-распределение с и степенями свободы. Его ФПВ задаётся формулой (2.1.100). Простые преобразования переменной в (2.1.110) приводят к ФПВ для R в виде

Распределение Раиса. В то время как распределение Релея связано с центральным хи-квадрат-распределением, распределение Раиса связано с нецентральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрировать эту связь, положим Y=X\2+X^, где Х\ и Х2 - статистически независимые гауссовские случайные величины со средним от,, /=1, 2 и одинаковой дисперсией ст2. Из предыдущего рассмотрения мы знаем, что Y имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с параметром отклонения *2=от12+т22. ФПВ для Y получаем из (2. 1 . 1 1 8), а при п=2 находим

Для обобщения приведённого выше результата пусть R определяется (2.1.136), где Xit i=l, 2, ...п -статистически независимые случайные величины со средними /я,-, /=1, 2, ... п и одинаковыми дисперсиями а2,1, Случайная величина R2=Y имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с п-степенями свободы i нецентральным параметром s2, определяемое (2.1.119). Её ФПВ определятся (2.1.118), следовательно, ФПВ для R равна

слагаемые суммы - статистически независимые и одинаково распределенные случайные

2.5. а) Пусть Хг и Xt - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями. Покажите, что преобразование (поворот) вида Yr +jYj = (Xr + jXi)e^ порождает другую пару (Yr,Yt) гауссовских случайных величин, которые имеют ту же СФПВ, что и пара (Хг Д ,. ) .

Y = ?Х, , где А', , /=1, 2, ... п - статистически независимые случайные величины, причем

Нормальное распределение согласно центральной предельной теореме имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых величин с любым законом распределения. На практике сумма сравнительно небольшого числа (4-5) статистически независимых величин одного порядка имеет распределение, близкое к нормальному. Если случайные погрешности определяются по результатам измерений, то погрешности в большинстве случаев имеют нормальное распределение.

Энергетический спектр такого сигнала можно найти исходя из следующих рассуждений. Согласно теории сигналов [14] последовательность статистически независимых равновероятных противоположных ЕЭС имеет спектральную плотность мощности s(«>), совпадающую с квадратом модуля спектра ЕЭС: s(o>) = = 1/то5(со)2.

4. Белый шум рассматривают как совокупность близко расположенных, узких, случайных и статистически независимых импульсов. Второй четырехполюсник с /С2(/<«) должен обеспечить наилучшее восстановление сигнала из белого шума и его упреждение на время а.

Вследствие того, что при вращении звеньев величина валентных углов сохраняется неизменной ( 1.25, а), расположение соседних звеньев друг относительно друга не может быть произвольным; в этом расположении должна наблюдаться некоторая корре: 'ляция. Однако при очень большой длине цепи в расположении звеньев, отстоящих на некотором расстоянии / друг 'от друга, такой корреляции уже практически нет. Если соединить эти звенья прямыми, то направления их будут практически независимыми друг от друга. Это означает, что реальную цепь, состоящую из N звеньев, можно разбить на г статистически независимых элементов длиной I каждый. Такой статистический элемент, или отрезок цепи, положение которого в пространстве не зависит от положения соседних элементов, называют сегментом, цепи.

Понятие статистической независимости может быть расширено на три и большее число событий. Три статистически независимых события AI, AI и Аэ должны удовлетворять следующим условиям:

Характеристическая функция дает простой метод для определения ФПВ суммы независимых случайных величин. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что Х„ /=1, 2, ... п, - ряд статистически независимых случайных величин, и пусть

Поскольку характеристическая функция суммы п статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций индивидуальных

Сумма п статистически независимых гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим

i статистически независимых случайных величин, но наш подход будет иным и не

I Пример 2.1.7. Пусть Xit i=l, 2, ..., п- ряд статистически независимых случайных величин, определенных так:

Но это как раз характеристическая функция гауссовской случайной величины нулевым средним и единичной дисперсией. Таким образом, мы имеем важный результа^ ФПВ суммы статистически независимых и одинаково распределенных случайных велич! с ограниченным средним и дисперсией приближается к гауссовской при п—не. Этф> результат известен как центральная предельная теорема. ^