Случайной погрешности

ской погрешностью, а А — случайной погрешностью. Если значение Ас известно, то систематическую погрешность можно исключить, приняв за окончательный результат измерения хяопр — исправленный результат измерения:

Фотомагнитоэлектрический эффект используют для измерения времени жизни неравновесных носителей заряда и широком диапазоне значений от 10~9 до 10~4 -с со случайной погрешностью 30— 35%. Однако основное применение он находит для определения малых значений времени жизни носителей заряда в соединениях А3В5 и А2В6. Наиболее важные ограничения фотомагнитоэлектрического эффекта как метода измерения времени жизни связаны с наличием ловушек захвата, концентрация которыу в соединениях А3В5 и А2В6 значительно больше, чем в элементарных полупроводниках, а также с влиянием приповерхностной области пространственного заряда.

Эллипсометр описанной конструкции применяют для контроля эпитаксиальных слоев толщиной от 0,01 до 1,6 мкм со случайной погрешностью измерения толщины ±0,01 мш при доверительной вероятности 0,95. Диапазон измеряемых тол дин может быть расширен выбором большей длины волны света.

Для доверительного интервала от — 30 до +3а доверительная вероятность равна 0,9973. Вероятность появления погрешности, большей За, равна 1 — 0,9973 = = 0,0027 » 1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 о. Поэтому значение 3 о считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3 а, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

У реальных приборов зависимость абсолютной погрешности от измеряемой величины х может быть представлена некоторой полосой неопределенности, обусловленной случайной погрешностью и изменением характеристик приборов в результате действия влияющих величин и вследствие старения. Поэтому значение абсолютной погрешности, как правило, ограничено двумя прямыми /, симметричными относительно оси абсцисс, расстояние между которыми увеличивается с ростом измеряемой величины ( 1.2).

В зависимости от степени неопределенности погрешности подразделяют на систематические и случайные. Систематической погрешностью называют составляющую погрешности ИП, значение которой при повторных преобразованиях величины с неизмен -ным размером остается постоянным. Случайной погрешностью называют ту ее составляющую, значение которой при повторных преобразованиях величины с неизменным размером изменяется случайно. Следовательно, в зависимости от степени неопределенности погрешность ИП (приведенная ко входу или выходу) может быть представлена как

тической составляющей; А = Д — А — центрированная составляющая погрешности А, называемая случайной погрешностью.

тической составляющей; А =•= А — А — центрированная составляющая погрешности А, называемая случайной погрешностью.

Случайные погрешности возникают в результате действия большого количества не связанных между собой факторов. Случайная погрешность может иметь различное значение; определить заранее момент появления, направление действия и точное значение этой погрешности для каждой конкретной детали в партии не представляется возможным. Причинная связь между случайной погрешностью и вызывающими ее появление факторами может быть явной или не вполне выясненной. Так, например, для конкретного случая станочной обработки можно выявить зависимость упругих отжатий технологической системы от колебания твердости или снимаемого припуска. Прогнозирование случайной погрешности для каждой детали в партии практически неосуществимо, но тем не менее можно установить пределы изменения этой погрешности. При явно выраженной связи между случайной погрешностью и вызывающими ее появление факторами пределы изменения случайной величины могут быть определены аналитическими расчетами.

Основные характеристики законов распределения. Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание ряда наблюдений есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных измерений. Если систематическая погрешность отсутствует, и разброс результатов отдельных измерений обусловлен только случайной погрешностью, то математическим ожиданием такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины. Если же результаты отдельных измерений кроме случайной погрешности содержат постоянную систематическую погрешность, то математическое ожидание ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.

Величина А = Х—М[Х] является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

Систематическая погрешность может быть выявлена и устранена с помощью введения соответствующей поправки. Оценку случайной погрешности можно произвести только на основе обработки ряда многократных наблюдений, пользуясь методами математической статистики и теории вероятностей.

Все эти погрешности могут быть систематическими или случайными. Систематические погрешности имеют постоянное значение в пределах времени обработки однэй партии, или их изменение происходит по определенному закогу. Таковы, например, погрешность, связанная с износом режущего инструмента, погрешность настройки станка, некоторые погрешности изготовления приспособлений и др. Конкретное значение случайной погрешности определенным закономерностям не подчиняется.

Пусть Уь У2, .... У и— случайные результаты прямых независимых измерений различных физических величин, a y=F(yb У2,..., У„) — результат косвенного измерения. Тогда среднее квадратическое отклонение а случайной погрешности результата косвенного измерения можно найти по формуле

где а; — среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения У,-, а частная производная берется в точке г/ь г/2, •••, Уп, соответствующей результатам прямых измерений.

Очевидно, дисперсия результата измерения равна дисперсии случайной погрешности. Поэтому

Метод затухания фотопроводимости используется для измерения объемного времени жизни носителей заряда в слитках и пластинах высокоомного кремния с р>200 Ом-см в интервале 10 — —3-103 мкс при случайной погрешности 10%.

Вероятность появления случайной погрешности в зависимости от ее величины может быть определена заранее и представлена в виде вполне определенного распределения. Законы распределения случайных погрешностей определяются видом измеряемых сигналов, наличием в них шумов и помех, методом и средствами измерений и могут быть линейными, равновероятными, параболическими и нормальными. Наиболее часто при многократных измерениях геофизических сигналов случайные погрешности распределяются по нормальному закону (закону Гаусса):

где р(б) — плотность вероятности случайной погрешности б; а — среднее квадратическое отклонение. Как следует из (1.1), при 6 = 0

единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от

При нормальном законе распределения по таблице интеграла вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. Например, для доверительного интервала от 8i = — о до бг=+о доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от 6i= — оо до 6s = + оо равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей 0, равна 1 — 0,68=0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую а.

Это — характеристика случайной погрешности. Ее определение позволяет составить представление об интенсивности случайной погрешности, поскольку дисперсия характеризует мощность флюктуации случайной величины, и соотнести полученную информацию с предъявляемыми требованиями. Устанавливая связь средней квадратической погрешности с параметрами блоков измерительной цепи, можно определить необходимые для удовлетворения предъявляемым требованиям значения этих параметров. Если, например, выставлено требование допустимого значения средней квадратической погрешности квантование, то исходя из равномерного распределения плотности вероятности случай-